下午第一节课，《灵算学》的陈老师没有像往常一样打开课本，而是在黑板上写下了一道完整的应用题。
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课堂习题：聚灵阵的性价比优化
题目：
修士小林手中有100块標准下品灵石。他有两种使用方案：
方案a（直接吸收）：每块灵石直接提供 1单位灵能。
方案b（布阵后吸收）：
1.先购买制式聚灵阵旗（每面售价 10块灵石）。
2.使用 n面阵旗布阵后，阵法范围內灵气浓度提升倍数为：
q(n)= 1 + ln(1 + n/2)（ln为自然对数）
3.在阵內吸收灵石时，每块灵石的灵能產出將提升 q(n)倍。
假设阵法持续时间足够吸收所有剩余灵石，且小林决定：
1先购买 n面阵旗（n为整数，0≤ n≤ 10）
2將剩余灵石全部在聚灵阵內吸收
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请回答：
（1）写出小林总共获得的灵能 e(n)的表达式。
（2）求 e(n)的最大值，並指出应购买多少面阵旗。
（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）
---
题目一出，教室里安静了片刻，隨即响起笔尖划纸的沙沙声——学生们开始抄题。
陈老师拍了拍手上的粉笔灰：“都抄完了吧？这道题看起来是数学题，但核心是修行资源的优化配置。谁来说说，解题的关键在哪里？”
几只手举了起来。
“郑良。”
郑良推了推並不存在的眼镜——在修行普及的当下，近视已不是问题，这只是他思考时的习惯动作：“关键是权衡！每买一面阵旗，就少了10块灵石能直接吸收，但阵旗能提升剩余灵石的吸收效率。我们需要在『买旗的消耗』和『效率的提升』之间找到平衡点——就是边际收益等於边际成本的那个点！”
“很好，抓住了经济学核心概念。”陈老师点头，“虽然我们叫《灵算学》，但很多思想来自经济学、运筹学。坐下。”
他转身在黑板上写下第一步推导：
---
第一步：建立模型（表达式推导）
“我们先明確几个量。”陈老师边写边说：
1.购买 n面阵旗→花费 10n灵石
2.剩余灵石数量：100 - 10n（块）
3.每块灵石在阵內產出：q(n)= 1 + ln(1 + n/2)（单位灵能）
“那么总灵能 e(n)是多少？”
林沄晧被点名站了起来。他稍作思考，用清晰但不过分流畅的语调回答：“总灵能等於剩余灵石数量乘以每块灵石的產出。所以 e(n)=(100 - 10n)x[1 + ln(1 + n/2)]。”
“完全正確。”陈老师示意他坐下，在黑板上写下这个表达式，“模型建好了。接下来就是求解——n取何值时，e(n)最大？”
---
第二步：求解最优解（枚举法）
“n是整数，范围是0到10。”陈老师说，“最稳妥的方法是枚举——把每个n代进去算一遍，比大小。”
他在黑板上列出计算过程：
```
n=0：e(0)= 100x[1 + ln(1)]= 100x 1 = 100.000
n=1：e(1)= 90x[1 + ln(1.5)]≈ 90x 1.4055 = 126.495
n=2：e(2)= 80x[1 + ln(2)]≈ 80x 1.6931 = 135.448←目前最大
n=3：e(3)= 70x[1 + ln(2.5)]≈ 70x 1.9163 = 134.141←开始下降！
n=4：e(4)= 60x[1 + ln(3)]≈ 60x 2.0986 = 125.916
...（后续继续下降）
```
“看，n=2时e值最大。”陈老师用红粉笔圈出135.448这个数字，“所以最优决策是：购买2面阵旗，花费20灵石，剩余80灵石在阵內吸收。总灵能约135.45单位，比直接吸收（100单位）提升35.45%。”
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课堂反应与思考
郑良眼睛发亮，已经在本子上演算起衍生问题，忍不住提问道：“老师！如果阵旗可以重复使用，成本该怎么分摊？还有如果增益公式改成平方根增长呢？”
陈老师笑了：“很好的拓展思考。但今天我们先把基础模型吃透。”
另一边，叶天飞盯著那个“n=2”的结果，手指在桌上无意识地敲了敲，侧头对林沄晧低声道：“两桿阵旗，八十发『弹药』……这配置听著就比闷头硬吸靠谱。有点战场补给优化的意思了。看来有时候修行是需要点计算啊……”
林沄晧听了，轻声回应道：“多算算没坏处。战斗是瞬间的直觉，但战前的准备和规划，往往就藏在这样的计算里。”他语气平和，带著鼓励。心下却想：百世修行，自己更多是倚仗近乎本能的直觉与浩瀚经验。但此界將一切量化、建模、求解的“科学”路径，確实提供了一种全新的、稳定可復现的认知框架。这“科学修仙”，的確受益无穷。
张成一笔一画地核对计算过程，憨厚地笑了笑：“不算太难，就是查对数表麻烦点。”他右手的伤已经恢復得差不多了，握笔稳当，笑容里少了前些日子的勉强，多了份踏实完成课业的轻鬆感。
林斌和陈然早早就算了出来。他们私下討论的正是不同阵旗售价、不同灵石总量变量下的通用计算方法。
不远处，林晓瑜正凑在黄雅静身边，用笔尖点著题目，小声讲解：“静雅你看，关键是要理解『剩余灵石』这个概念……”她讲得细致，还举著生活中的例子，黄雅静边听边点头，原本微蹙的眉头渐渐舒展开来。
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陈老师放下粉笔，环视教室：“这道题告诉我们三个核心道理：
1.边际收益递减：在一定情形下，阵旗越多，每面新增阵旗的提升效果越小（对数增长的特徵）。
2.资源有限性：买旗的灵石不能用於吸收，必须权衡。
3.最优解在中间：不是全买或全不买，而是某个平衡点。
“而这——”他加重语气，“正是『科学修仙』的精髓之一。不是凭感觉，不是撞大运，而是用数学、用逻辑、用模型，找到那个『性价比最高』的点。在资源有限的世界里，这是每个修士的必备素养。”
他顿了顿，最后提醒：“当然，现实比题目复杂——每人吸收效率不同，阵旗有误差，阵法持续时间可能不够……所以算出来的最优解只是参考起点。真正的修炼，需要在『算』与『感』之间找到平衡。”
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下课铃响起。
学生们收拾文具时，林沄晧將目光从黑板上收回。那道对数函数和n=2的结论静静地留在那里。在他百世轮迴的记忆中，处理过远比这复杂的资源优化问题，但此刻，他只是个“解出这道题”的普通高二学生。
草稿纸上，他的解题步骤工整清晰，恰到好处地在一两处留有“思考涂改”的痕跡。
窗外阳光正好。
在这个用科学解构修行、用数学描述法则的世界里，这道关於“灵石与阵旗”的课堂习题，正是万千修行者理性求索之路的一个微小缩影。这条路，正通往无尽的书山学海。
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课堂习题：聚灵阵的性价比优化
题目：
修士小林手中有100块標准下品灵石。他有两种使用方案：
方案a（直接吸收）：每块灵石直接提供 1单位灵能。
方案b（布阵后吸收）：
1.先购买制式聚灵阵旗（每面售价 10块灵石）。
2.使用 n面阵旗布阵后，阵法范围內灵气浓度提升倍数为：
q(n)= 1 + ln(1 + n/2)（ln为自然对数）
3.在阵內吸收灵石时，每块灵石的灵能產出將提升 q(n)倍。
假设阵法持续时间足够吸收所有剩余灵石，且小林决定：
1先购买 n面阵旗（n为整数，0≤ n≤ 10）
2將剩余灵石全部在聚灵阵內吸收
【写到这里我希望读者记一下我们域名 101 看书网体验佳，101??????.??????轻鬆读 】
请回答：
（1）写出小林总共获得的灵能 e(n)的表达式。
（2）求 e(n)的最大值，並指出应购买多少面阵旗。
（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）
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题目一出，教室里安静了片刻，隨即响起笔尖划纸的沙沙声——学生们开始抄题。
陈老师拍了拍手上的粉笔灰：“都抄完了吧？这道题看起来是数学题，但核心是修行资源的优化配置。谁来说说，解题的关键在哪里？”
几只手举了起来。
“郑良。”
郑良推了推並不存在的眼镜——在修行普及的当下，近视已不是问题，这只是他思考时的习惯动作：“关键是权衡！每买一面阵旗，就少了10块灵石能直接吸收，但阵旗能提升剩余灵石的吸收效率。我们需要在『买旗的消耗』和『效率的提升』之间找到平衡点——就是边际收益等於边际成本的那个点！”
“很好，抓住了经济学核心概念。”陈老师点头，“虽然我们叫《灵算学》，但很多思想来自经济学、运筹学。坐下。”
他转身在黑板上写下第一步推导：
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第一步：建立模型（表达式推导）
“我们先明確几个量。”陈老师边写边说：
1.购买 n面阵旗→花费 10n灵石
2.剩余灵石数量：100 - 10n（块）
3.每块灵石在阵內產出：q(n)= 1 + ln(1 + n/2)（单位灵能）
“那么总灵能 e(n)是多少？”
林沄晧被点名站了起来。他稍作思考，用清晰但不过分流畅的语调回答：“总灵能等於剩余灵石数量乘以每块灵石的產出。所以 e(n)=(100 - 10n)x[1 + ln(1 + n/2)]。”
“完全正確。”陈老师示意他坐下，在黑板上写下这个表达式，“模型建好了。接下来就是求解——n取何值时，e(n)最大？”
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第二步：求解最优解（枚举法）
“n是整数，范围是0到10。”陈老师说，“最稳妥的方法是枚举——把每个n代进去算一遍，比大小。”
他在黑板上列出计算过程：
```
n=0：e(0)= 100x[1 + ln(1)]= 100x 1 = 100.000
n=1：e(1)= 90x[1 + ln(1.5)]≈ 90x 1.4055 = 126.495
n=2：e(2)= 80x[1 + ln(2)]≈ 80x 1.6931 = 135.448←目前最大
n=3：e(3)= 70x[1 + ln(2.5)]≈ 70x 1.9163 = 134.141←开始下降！
n=4：e(4)= 60x[1 + ln(3)]≈ 60x 2.0986 = 125.916
...（后续继续下降）
```
“看，n=2时e值最大。”陈老师用红粉笔圈出135.448这个数字，“所以最优决策是：购买2面阵旗，花费20灵石，剩余80灵石在阵內吸收。总灵能约135.45单位，比直接吸收（100单位）提升35.45%。”
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课堂反应与思考
郑良眼睛发亮，已经在本子上演算起衍生问题，忍不住提问道：“老师！如果阵旗可以重复使用，成本该怎么分摊？还有如果增益公式改成平方根增长呢？”
陈老师笑了：“很好的拓展思考。但今天我们先把基础模型吃透。”
另一边，叶天飞盯著那个“n=2”的结果，手指在桌上无意识地敲了敲，侧头对林沄晧低声道：“两桿阵旗，八十发『弹药』……这配置听著就比闷头硬吸靠谱。有点战场补给优化的意思了。看来有时候修行是需要点计算啊……”
林沄晧听了，轻声回应道：“多算算没坏处。战斗是瞬间的直觉，但战前的准备和规划，往往就藏在这样的计算里。”他语气平和，带著鼓励。心下却想：百世修行，自己更多是倚仗近乎本能的直觉与浩瀚经验。但此界將一切量化、建模、求解的“科学”路径，確实提供了一种全新的、稳定可復现的认知框架。这“科学修仙”，的確受益无穷。
张成一笔一画地核对计算过程，憨厚地笑了笑：“不算太难，就是查对数表麻烦点。”他右手的伤已经恢復得差不多了，握笔稳当，笑容里少了前些日子的勉强，多了份踏实完成课业的轻鬆感。
林斌和陈然早早就算了出来。他们私下討论的正是不同阵旗售价、不同灵石总量变量下的通用计算方法。
不远处，林晓瑜正凑在黄雅静身边，用笔尖点著题目，小声讲解：“静雅你看，关键是要理解『剩余灵石』这个概念……”她讲得细致，还举著生活中的例子，黄雅静边听边点头，原本微蹙的眉头渐渐舒展开来。
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陈老师放下粉笔，环视教室：“这道题告诉我们三个核心道理：
1.边际收益递减：在一定情形下，阵旗越多，每面新增阵旗的提升效果越小（对数增长的特徵）。
2.资源有限性：买旗的灵石不能用於吸收，必须权衡。
3.最优解在中间：不是全买或全不买，而是某个平衡点。
“而这——”他加重语气，“正是『科学修仙』的精髓之一。不是凭感觉，不是撞大运，而是用数学、用逻辑、用模型，找到那个『性价比最高』的点。在资源有限的世界里，这是每个修士的必备素养。”
他顿了顿，最后提醒：“当然，现实比题目复杂——每人吸收效率不同，阵旗有误差，阵法持续时间可能不够……所以算出来的最优解只是参考起点。真正的修炼，需要在『算』与『感』之间找到平衡。”
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学生们收拾文具时，林沄晧將目光从黑板上收回。那道对数函数和n=2的结论静静地留在那里。在他百世轮迴的记忆中，处理过远比这复杂的资源优化问题，但此刻，他只是个“解出这道题”的普通高二学生。
草稿纸上，他的解题步骤工整清晰，恰到好处地在一两处留有“思考涂改”的痕跡。
窗外阳光正好。
在这个用科学解构修行、用数学描述法则的世界里，这道关於“灵石与阵旗”的课堂习题，正是万千修行者理性求索之路的一个微小缩影。这条路，正通往无尽的书山学海。